数学本科生不妨学一点代数几何 | 读《初等代数几何》

代数几何是现代数学中一门十分重要的基础学科。代数几何的主要研究对象是代数簇，代数簇可以简单地看成是一组多元多项式的零点集合(也称为代数集)：

当其中的各个n元多项式都是一次多项式时，它就是线性代数中所讨论的线性方程组，此时的代数集就是我们都熟悉的线性方程组的解空间。然而当这些多项式的次数不是一次时，其研究就非常的复杂，需要用到代数、几何与分析等学科中的大量数学方法和工具。例如当m=1时，这个代数集就是n维仿射空间 中的超曲面，与微分几何中只研究该曲面的度量与拓扑性质不同，在代数几何中还要研究该曲面的代数性质（如该曲面所确定的有理函数域等）。

在我国，代数几何这个分支学科往往被归在代数学的领域内，而不是归在几何学的领域中。代数几何课程一般只在极少的一些大学的研究生阶段才开设，在大学数学系的本科阶段，基本上不开代数几何这门课。

最近几十年来，由于代数几何对现代数学发展所起的巨大推动作用，人们越来越重视这门学科。这是因为在研究代数簇的过程中，产生了许多重要而又深刻的数学理论。例如在抽象代数、代数拓扑、微分拓扑、整体微分几何、数论以及分析学中有许多重要的理论，实际上都是因代数几何的需要而提出来的，同时代数几何也将分析、拓扑、几何与数论中的一些基本概念和理论抽象提升到了更高的层次，所以可以说代数几何在20世纪的数学统一化的进程中扮演了一个极其重要的角色。在20世纪现代数学的许多重大进展（例如获得菲尔兹奖和沃尔夫奖的工作）的背后，或多或少都有与代数几何相联系的内容。

鉴于代数几何这门学科的重要性，从上世纪后期开始，国外有不少大学在数学系的研究生阶段开设了代数几何课程，这样在世界范围内就正式出版了许多代数几何的研究生教材，迄今至少有五十本之多。同时一些国外大学的数学系陆续在本科高年级中开设了初等代数几何的课程，由此便产生了十来本大学程度的代数几何教材。这其中有一本由代数几何学家胡里克（Klaus Hulek）用德语写的《初等代数几何（第2版）》（2012年），已经由高等教育出版社在2014年出版了中译本。该书的第1版出版于2000年，并且在2003年被美国数学会出版社（American Mathematical Society）译成了英语出版，书名为《Elementary Algebraic Geometry（初等代数几何）》。

图1：胡里克（Klaus Hulek）写的《初等代数几何（第2版）》中译本

《初等代数几何》一书的译者胥鸣伟老师在该书中译本的“译序”中，对代数几何的作用及其教学问题给出了以下三段很精辟的介绍：

“

“现代代数几何是将抽象代数，尤其是交换代数和同调代数同几何学结合起来的一门学科。它在现代数学里居于中心的地位。在数论、复几何、K–理论、表示论以及理论物理等方面有着重要的应用。现代代数几何的关键成就之一是格罗滕迪克（A. Grothendieck）的概形论；概形论拓广了点的概念，使人们可应用层论连同它的上同调理论去研究代数簇；现代代数几何所建立的研究数学的架构以及对待数学的方式，深刻地影响着整个数学。

这本叫做《初等代数几何》的书对于我们数学系三四年级的学生来说，其实是相当不初等的，也许还需要额外补充一些知识。这本书是对于格罗滕迪克以来的现代代数几何入门的一个初等介绍，尽管它并没有引进概形的概念，也没有用到上同调工具，但却在一些简单的情形中朝这个目标做了一些必要的准备工作，以便为进一步的学习打好基础。

但是要写出一本在大学三四年级的一学期用的代数几何教科书是极其困难的。这本书在最后一章之前应该说做得相当不错。但最后一章在讲述曲线论，特别是它的中心——黎曼-罗赫定理时，就不得不引用了许多不加证明的结果。到底该如何在我们的大学里教这门课非常值得探讨，尽管如此，鉴于这门学科的重要性，我认为，现在应该是我们在大学安排这样一门课程的时候了。”

”

这里的第一段话里所说的交换代数，是抽象代数中专门研究交换环的一个代数学科。环对代数几何来说是至关重要的，由于在仿射簇与坐标环之间可以建立起一一对应的关系，因此在很大程度上，对代数簇的研究就可以转化为对于交换环的研究。而同调代数也是一个被广泛使用的代数工具，它的思想来源与代数拓扑中的同调理论，即试图运用群论的思想方法来刻画流形和代数簇的整体几何性质。格罗滕迪克是20世纪最著名的代数几何学家，他在1960年代用概形理论为代数几何奠定了牢固的逻辑基础，从而促进了现代数学的大发展。概形是经典代数簇的一种十分抽象的推广，由此极大地拓展了代数几何的适用范围，特别是能够实现人们长久以来梦寐以求的将代数几何与代数数论统一起来的梦想。

在第二、三段话中胥老师谈到，要写一本大学程度的代数几何教科书是“极其困难”的。这是因为概形理论这一套语言，实际上高度综合了一百多年来所产生的代数、分析、几何、数论与拓扑等学科里的大量理论成果，如果没有充分的知识和思想准备的话，是很难理解其中所包含的丰富而深刻的几何内涵的。在历史上，代数几何的语言经历了好几次相当大的重新改写，已经从一百多年前纯粹的分析和几何的语言变成了如今极端抽象的代数语言。因此现在就十分需要像《初等代数几何》这样的写得浅显易懂的入门教材，它们能够帮助初学者初步了解一些代数几何最基本的思想和方法，为今后进一步学习现代代数几何课程培养兴趣创造有利条件。胥老师特别强调：“鉴于这门学科的重要性，我认为，现在应该是我们在大学安排这样一门课程的时候了。”

《初等代数几何（第2版）》一共有六章，下面我们简单地介绍一下各章的基本内容。

一、第一章“仿射簇”内容介绍

本书在第一章之前，还有一个第零章“引言”，它主要列举了几个关于代数簇的典型例子。

第一章主要讲希尔伯特零点定理、簇上的有理函数、有理映射。在本书中，仿射簇被定义成了代数集（这里不像有的书那样定义为不可约的代数集），也就是本文开头所讲的由 个多元多项式所确定的零点集合，这个集合一般记为 。另一方面，仿射簇 也确定了多项式环 中的一个理想：

所谓仿射簇 的坐标环，就是由这个理想所确定的商环

它也可以看成是 上全体 元多项式函数的集合。坐标环 是一个不含有幂零元的 -代数，是一种性质很好的环。

环的理想的概念最早来源于代数数论，后来人们建立了关于理想的一整套理论，它可以用来准确地描写代数簇的基本性质，例如不可约仿射簇 所对应的坐标环 一定是整环等等。在抽象代数（或近世代数）课程里，包含了关于环的初步理论，而在代数几何中，我们可以找到环论的一个真正的应用。

在仿射簇 上，可以形成著名的“扎里斯基拓扑”的概念，其中一律将代数集的补集都定义为“开集”。赋予了这种拓扑的仿射簇当然与通常的点集拓扑里的拓扑空间区别很大，这种奇怪的扎里斯基拓扑可以用来准确地刻画相关映射的某种“连续性”。

本章重点介绍和证明了非常基本的希尔伯特零点定理，这个著名定理包含了几个基本结论，其中有一个结论是说： 中的极大理想和仿射空间 的点是一一对应的，从而我们就可以推出坐标环 的极大理想与仿射簇 的点也是一一对应的，这其实就意味着可以根据代数的信息(即极大理想)来代替或构造几何的对象(即点)，类似这样的通过研究交换环中的理想，来产生所需要的几何学结论，这实际上就是后来概形的概念能够产生的最早的原始想法。

范畴与函子的语言是现代数学中的常用语言，它不仅被运用到了现代数学的许多分支（例如拓扑学、代数几何、微分几何），还被应用到了计算机科学和物理学中。在这里，作者简明扼要地介绍了关于范畴与函子的最基本概念，并由此证明了仿射簇的范畴与有限生成 -代数的范畴是等价的，意思就是对仿射簇的几何研究，可以转化为对于有限生成 -代数的研究。

当仿射簇 不可约时，整环 的商域是它的有理函数域 。对 上的任何点 ，都有一个局部环（即只有一个极大理想的非零环）：

这些局部环的全体组成了可以给出仿射簇 几何特征的结构层 。在代数几何里，仿射簇 的有理函数域 及其结构层 往往与 本身同样重要，可以说它们完全确定了 的几何性质，代数几何学家们主要就是通过研究有理函数域，来得到仿射簇本身的性质。这种研究方法和其他的几何学分支学科的方法是很不一样的，例如在整体微分几何中，我们就不太关注定义在某一个微分流形上的所有光滑函数的集合。

二、第二章“射影簇”内容介绍

射影簇是代数几何中最常见的研究对象，它来源于经典的射影几何学理论（高等师范院校开设的高等几何课程主要就是讲射影几何）。本章首先介绍了射影空间的基本概念，射影空间可以用一系列仿射空间来加以覆盖。当我们对确定仿射簇的方程进行了被称为齐次化的简单运算后，就可以得到位于射影空间中的射影簇。射影曲线与射影曲面是最简单的射影簇。

分次环和齐次理想是研究射影簇的有效代数工具。在射影簇上，可以建立和仿射簇相似的希尔伯特零点定理、有理函数域，以及局部环和结构层的理论。

有理映射和双有理映射（或双有理等价）的基本概念来源于早期代数几何学中的双有理变换，而如果两个射影簇是双有理等价的话，那么它们的有理函数域一定是同构的，也就是在代数上这两个有理函数域是完全一样的。通过双有理等价这个等价关系，我们可以对所有的射影簇进行分类。被称为“胀开”的映射方法是一种很典型的双有理映射的方法，它可以对射影簇的奇点进行消解，从而在每个等价类中都能找到更为“光滑”的射影簇来作为其代表。

三、第三章“光滑点和维数”内容介绍

维数是一个最基本的几何学概念。在代数几何中，仿射簇的维数是通过代数的方法来确定的。从素理想的概念出发，我们可以定义仿射簇 的维数为它的坐标环 的克鲁尔维数。一维的仿射簇（或射影簇）就是代数曲线，而二维的仿射簇（或射影簇）则是代数曲面。

同样对于光滑性，也是主要用代数的方法来确定的。在代数几何中，不像数学分析和微分几何课程那样，用取极限的过程来考察光滑性的，而是要用所谓的“内蕴”（即不依赖于外在的显式表示）的方法。以前我们在微分流形上定义光滑函数的微分时，是先定义了切向量，然后由一点处的所有切向量组成了流形在该点的切空间，而流形在该点的微分空间则定义为切空间的对偶空间。但是在代数几何中，这个过程是反过来的，也就是先将微分空间定义为由上述那个局部环 中的极大理想m所确定的线性空间m/，然后再将切空间定义为该线性空间m/的对偶空间。当仿射簇 上一个点 的切空间维数等于 的维数时，就称 是一个光滑点，否则称其为一个奇点。

切空间的这个内蕴定义是由代数几何学家扎里斯基（O. Zariski）首先提出来的，这个定义是对微分流形上切空间的一种深入刻画与自然推广，并且可以直接用到后来的概形理论中。

四、第四章“平面三次曲线”内容介绍

如果说本书的前半部分主要是介绍了一些概念性的内容，那么在后半部分里，作者就讲了一些真正具有几何意味的内容。第四章详细讲解了平面三次曲线的射影分类、两条平面曲线的相交重数及贝组定理，特别是介绍了一些关于平面光滑三次曲线（即著名的椭圆曲线）的最基本的知识，这其中就包括了魏尔斯特拉斯（Weierstrass）形式和椭圆曲线的群结构等内容。

椭圆曲线并不是椭圆，而是一种非常特殊的来源于椭圆积分（数学分析中“积不出来”的积分）的平面三次曲线。椭圆曲线在现代数论中的地位极其重要，例如著名的费马大定理就是通过运用了椭圆曲线的基本理论而得到证明的。

五、第五章“三次曲面”内容介绍

本章主要考察了一种非常简单的代数曲面——三维射影空间中的光滑三次曲面。作者首先运用了经典的代数几何方法，详细地证明了“每个光滑三次曲面上恰好有27条直线”这个非常著名的定理。

图2：三次光滑曲面上有27条直线

接下来，作者运用了三次曲面上存在直线这个结论，证明了“任何一个光滑三次曲面都是有理曲面（即双有理等价于二维射影平面的代数曲面）”这个基本定理。这个定理是通向著名的意大利学派所创立的代数曲面分类理论最早的一步。

六、第六章“曲线论简介”内容介绍

这里第六章的标题中“曲线论”是指代数曲线的理论，代数曲线理论是代数几何中发展得最为完备优美的一套理论（它当然包括了椭圆曲线的理论），代数曲线包含了非常丰富的代数、几何与拓扑性质。

与其他同类的大学代数几何教材有所不同，本书专门用了一整章来介绍代数曲线的初步理论，这是比较难得的。在第六章中，作者主要解释了十分重要的黎曼-罗赫定理的含义（虽然没有证明这个定理），以及这个定理的一些应用。本章还证明了“光滑的射影曲线可以嵌入到三维射影空间中”这个基本定理。

在代数几何里，代数曲线并不就是简简单单的一条“曲线”。例如在复平面 （ 代表复数集）内，如果f(x,y)是一个二元复系数的多项式，那么方程f(x,y)＝0就定义了一条复代数曲线，由于可以取复数值的x和y都是实2维的变量，因此整个复平面就可以看成是实4维欧氏空间，而复数等式f(x,y)＝0相当于两个实数等式，它们确定了4维空间中的两个超曲面。因为每增加一个实数等式就相当于减少了一个几何维数，于是复代数曲线f(x,y)＝0实际上就是一个4－2＝2维的“实曲面”。这样，每一条复代数曲线都对应了一个被称为“黎曼曲面”的抽象几何对象。

我们在复变函数论这门课程里，曾经学过黎曼曲面的基本概念，只不过在那里是因为要解决多值解析函数（或全纯函数）的问题，从解析开拓的角度引入了黎曼曲面的概念。其实复变函数论里讲的所有的理论，都可以推广到黎曼曲面上。而在代数几何里早就证明：代数曲线实际上是黎曼曲面在射影空间里的外在实现形式（两者是一回事），从这个角度可以说，我们已经在复变函数论这门课程里接触过一点关于复代数曲线的理论了。

19世纪的大数学家黎曼在研究黎曼曲面上的代数函数理论时，发现了黎曼-罗赫定理中的部分结论，经过他的学生罗赫完善后，形成了著名的代数曲线上的黎曼-罗赫定理：

其中的 是代数曲线上的任意除子( 是整数， 是代数曲线上的点，这是一个有限“形式和”)， 是除子 的次数， 是线性空间 的维数，这个线性空间的元素是代数曲线上的有理函数 ，记号 的含义是类似的，其中的 表示由代数曲线上的有理微分形式所确定的典范除子。上述等式右边的 就是代数曲线的拓扑不变量——亏格，亏格在直观上就表示代数曲线（或黎曼曲面）上“洞”的个数。

黎曼-罗赫定理是一个内涵非常深刻的定理，它反映了代数曲线上的某些由满足一定条件的有理函数组成的线性空间的性质是如何受到亏格 这一拓扑不变量的控制的。该定理左边的这些线性空间的维数刻画了由“除子”所反映出来的代数曲线局部的函数信息，而右边则主要表示了代数曲线的拓扑不变量 这个整体信息。在这方面，黎曼-罗赫定理与我们在大学微分几何课程中学过的闭曲面 的高斯-博内定理是十分相象的：

这里等式的左边的积分是在 上对高斯曲率函数 的面积分，而在右边出现的整数 是 的欧拉示性数，它是用来刻画闭曲面 的整体几何形状的一个拓扑不变量，因此高斯-博内定理显示了闭曲面 的局部性质和整体性质之间的紧密联系。

七、《通过解题学习代数几何》内容介绍

最近，哈尔滨工业大学出版社翻译出版了一本非常好的书《通过解题学习代数几何》，它其实是一群美国的大学数学教师在讲授初等代数几何课程时，集体编写的一本授课讲义。这本讲义采用了“内容简介＋由浅入深精心编排的习题”的形式，试图通过让学生们实际动手来进行一定数量的基本演算和解题（而不是仅仅让学生听课和阅读课本），来使学生很好地理解初等代数几何中的基本思想。在该书开头的绪言中，有这样一段对代数几何进行评价的话：“尽管代数几何有很多实际用处，但是推动其发展的主要动因还是对数学美的追求。这个学科许多划时代的进展都是在追求内在美的强烈驱使下得到的。”

图3：《通过解题学习代数几何》中译本

《通过解题学习代数几何》这本书的内容包含了二次曲线、三次曲线与椭圆曲线、高次曲线与黎曼-罗赫定理、仿射簇、射影簇、层与上同调。这本书的内容可以《初等代数几何》结合起来，互相补充一起进行学习。两本书相比较而言，《通过解题学习代数几何》的内容更加容易理解一些。

八、结语

从我们上面对《初等代数几何》的简单介绍中可以看到，代数几何与大学数学系开设的许多课程都有一定的联系，这些课程分别是：数学分析、高等代数（或线性代数）、高等几何、数论、复变函数论、微分几何、抽象代数、拓扑学、微分流形等。通过学习一点初等代数几何的知识，可以把大学各课程的内容有机地串联起来，提升我们对于近现代数学的认识水平，特别是有助于慢慢培养起“数学是一个整体”的全局观念。

菲尔兹奖获得者、代数几何学家芒福德(D. Mumford)曾经写过如下的一段话，来表达他对代数几何这门奇特学科的看法，我们就用这段经常被人们引用的话来结束本文：

“

“当我开始在代数几何中的研究生涯时，我认为有两个吸引我的原因，首先是它研究的对象实在是非常形象和具体的射影曲线与射影曲面；第二是因为这是一个既小又安静的领域，其中（全世界）大概只有十来个人在研究，几乎不需要新的想法。然而随着时光的推移，这个学科逐渐获得了一个看上去是诡秘、孤傲而又极端抽象的名声，它的“信徒们”正在秘密打算接管其他所有的数学分支领域！从某种程度上说，上述最后一句话是对的：代数几何是一门与大量其他数学领域有着最密切关系的学科──例如复解析几何（即多复变函数论）与微分几何、拓扑学、K–理论、交换代数、代数群和数论──并且既能给所有这些学科以各种定理、方法和例子，同时又能够从它们那里得到同样多的定理、方法和例子。”（见芒福德写的《The Red Book of Varieties and Schemes（关于代数簇与概形的红皮书）》，Springer-Verlag出版社，1999年）

”

参考阅读：代数几何的演进：从代数簇到概形